אלכס אנסקי נולד בשנת 1939 בסופיה שבבולגריה לגיזלה, שחקנית ולאליעזר אנסקי, במאי תיאטרון ופעיל ציוני. לאחר מלחמת העולם השנייה בהיותו בן 5 עלתה משפחתו ארצה והשתקעה ביפו. אלכס למד בבית הספר הדתי ביל"ו בשד' רוטשילד בתל אביב. בין שאר חבריו לכיתה היו
עודד קוטלר, אליהו בן אלישר, ו
איתן הבר. אולם תקופתו בבית הספר הדתי לא הייתה ארוכה. בהמשך כשביקש מהוריו להקפיד על כשרות ושמירת שבת החליטה אמו "שזה יותר מדי" והעבירה אותו לבית ספר "בית החינוך" של תנועת "העבודה".
אלכס ינק את התיאטרון בבית בעקבות אביו הבמאי ואמו השחקנית וכבר בתור ילד החל לשחק בתיאטרון הילדים "במתנו" שהקים אביו אליעזר אנסקי ופעל לצד תיאטרון "אוהל". בגיל 8 הופיע בפעם הראשונה על
הבימה בהצגה "כזאת הייתה אמא" לצד
אורנה פורת ויוסף ידין ולצד אמו השחקנית גיזלה אנסקי.
בגיל 9 מוכתר אלכס בעיתונות כ"ילד פלא" ומתקבל לתיאטרון הבימה ומשחק שם בהצגה "זעקי ארץ אהובה", לצד אהרון מסקין הגדול. בגיל 14 היו מאחוריו כבר 5 שנות משחק בתיאטרון, בכללן כמאה הופעות ב"זעקי ארץ אהובה" ב"הבימה" לצידו של מסקין המיתולוגי. לא פעם אלכס הקטן היה חוזר בתום ההצגה, יחד עם חברי להקת השחקנים, בשעת לילה מאוחרת ולמחרת היה עליו להתייצב ללימודים בבית הספר.
אלכס אנסקי למד בתיכון חדש בתל אביב יפו, ובשירותו הצבאי שירת בחיל-האוויר באזור אילת. אלכס התאהב בעיר הדרומית ושימש מספר שנים כרכז התרבות בעיר. באותה תקופה, והוא בתחילת שנות העשרים לחייו, היה כבר בעל משפחה ואב לילד. אי-שם בשנות ה-60 עבר עם משפחתו לירושלים ועבד שנתיים במשרד האוצר.
אלכס אנסקי הוא בוגר בית הספר הדרמטי של "הבימה" ושל בית הספר הגבוה לתקשורת RCA בניו-יורק.
בשנות ה-70 הצטרף ל
גלי צהל ויזם את תוכנית הבוקר "שבע אפס שבע" ששודרה מיד לאחר חדשות השעה 7. הייתה זו תוכנית בוקר יומית שבה קרא אנסקי מבחר ידיעות וכתבות שהופיעו בעיתוני הבוקר. ובין קטעי העיתונות שולבו מוזיקה, נעימות ושירים. התוכנית שודרה במשך שנים רבות וזכתה להאזנה רבה והפכה לחלק בלתי נפרד משגרת הבוקר של מאזינים רבים.
בהמשך יזם אנסקי את הפקת התוכנית בגלי צה"ל "קולה של אמא", ששודרה בימי שישי בשעה 11 לפני הצהרים. בתוכנית זו שוחח אלכס עם אימהות שמסרו דרישות שלום לילדיהם המשרתים אי-שי. אלכס הגיש לצד הפרופ' מיכאל הר סגור את התוכנית "השעה היסטורית" שזכתה לשבחים. בו דנו בפרק בהיסטוריה האנושית. התוכנית עסקה בנושאים מגוונים לאורך ההיסטוריה בסגנון סיפורי. במהלך התוכנית אף הושמעו שירים וקטעי קול שהתאמו לתקופה ולפרק הזמן בו עסקו הפרקים.
בשנת 1977 נמנה על צוות התעמולה של הליכוד בבחירות לכנסת. בין השאר יעץ והדריך את
מנחם בגין כיצד להופיע בפני מצלמות בתשדירי הבחירות. בסקרי דעת קהל הוביל אנסקי במשך שנים ארוכות במקום הראשון כשדר הפופולרי ביותר מבין שדרי הרדיו (כולל
קול ישראל וגלי צה"ל) ב-1989 מונה לראש מחלקת הקריינים בגלי צה"ל במקומו של
ארז טל.
בתחילת שנות ה-90 ירדה התוכנית 707 מהאוויר וחזרה במתכונת מחודשת בשנת 2001. בשנים האחרונות הוא מגיש בגלי צה"ל תוכנית אישית המשודרת בתחנה הצבאית בסוף שבוע.
