תולדות חייו של ויצמן שזורים בהקמת המדינה. ויצמן סיים את בית הספר הריאלי בחיפה. הוא אחיינו של ד"ר חיים ויצמן, הנשיא הראשון של מדינת ישראל.
היה נשוי לראומה לבית שוורץ מאז 1950. אב למיכל, נשואה ואם לארבעה ילדים. בנו שאול נפצע קשה ב-1970, בתעלת סואץ, במהלך מלחמת ההתשה, בעת שירותו בצנחנים. שאול נהרג בתאונת דרכים ביולי 1991.
ב-1942, בגיל 18, הצטרף ויצמן לחיל האוויר המלכותי של בריטניה. למד טיס ברודזיה דאז. בוגר קורס טייסי קרב מ-1944 בצפון אפריקה ובמזרח הרחוק. ב-1947 היה בין מקימי חיל האוויר של מדינת ישראל, יחד עם קבוצת טייסים. בשנים 1949-1948 היה טייס קרב והשתתף ברוב קרבות האוויר במלחמת העצמאות. ב-1949 מונה למפקד טייסת הקרב הראשונה של ישראל. בשנים 1952-1951 סיים את לימודיו במכללה של חיל האוויר הבריטי בבריטניה.
בשנים 1957-1953 היה מפקד בסיס טייסת קרב (כנף). נלחם במבצע קדש (סיני). בשנים 1958-1957 היה ראש מחלקת אוויר וסגן מפקד חיל האוויר. בשנים 1966-1958 קודם לדרגת אלוף וכיהן בתפקיד מפקד חיל האוויר הישראלי. עיצב את אסטרטגיית חיל האוויר, שבאה לידי ביטוי בהצלחה רבה במלחמת ששת הימים.
בשנת 1966 מונה לסגן הרמטכ"ל. בשנים 1969-1966 היה ראש אג"ם, ובתקופתו פרצה מלחמת ששת הימים. לזכותו של עזר ויצמן נזקפת הכנתו ואימונו של חיל האוויר לקראת הניצחון המזהיר ב-1967.
את דרכו הפוליטית החל ויצמן בשנת 1969, כאשר פרש מצה"ל והצטרף למפלגת גח"ל תחת הנהגתו של מנחם בגין. מונה לשר התחבורה בממשלת ישראל. ב-1970 פרש עם מנחם בגין ושרי הליכוד מממשלת ישראל (שמרבית חבריה היו אנשי מפלגת העבודה). בשנים 1971-1970 עסק במקביל בפוליטיקה ובעסקים פרטיים. הקים את תנועת יחד, שהצטרפה לאחר מכן למפלגת העבודה. בממשלות ישראל כיהן במגוון תפקידים: שר הביטחון, שר התחבורה, שר התקשורת, שר ללא תיק לענייני מיעוטים ושר המדע והטכנולוגיה. בשנים 1980-1977 כיהן בתפקיד שר הביטחון בממשלת מנחם בגין. מילא תפקיד מרכזי בתהליך השלום הממושך עם מצרים ובהסכמי קמפ דיוויד.
ב-1992 התפטר מהכנסת. בשנים 1978-1965 היה חבר מועצת המנהלים של מכון ויצמן. ב-1992, במלאת 15 שנה לביקורו של הנשיא סאדאת בארץ, העניק לו המכון את אות ויצמן במדעי הטבע והרוח - כהוקרה על תרומתו להשכנת השלום בין ישראל למצרים.
בשנות כהונתו במערכת הפוליטית התבלט ויצמן בפעילותו העצמאית. הוא התנגד לדרך שבה דוכאה האינתיפדה, קרא להידברות עם אש"פ, והיה השר היחיד בממשלה שהצביע נגד חיסולו של אבו-ג'יהאד. ב-1990 פרץ עימות בינו לבין ראש הממשלה יצחק שמיר, על-רקע פגישה שקיים ויצמן עם איש אש"פ בז'נבה (דבר שנגד, לכאורה, את החוק). שמיר דרש שיתפטר מהממשלה.
ויצמן נאלץ להתפטר ושב לספסלי הכנסת, כח"כ מן השורה. ב-1992 התפטר מכהונתו כחבר כנסת. ב-1993 נבחר ויצמן על-ידי הכנסת לנשיא השביעי של מדינת ישראל. במארס 1998 נבחר לכהונה נוספת בת חמש שנים. בשנות כהונתו הקפיד לבקר נפגעי פיגועים, פצועי צה"ל ומשפחות שכולות. פעל לאיתור נעדרים בחזית המצרית, בשיתוף פעולה עם נשיא מצרים חוסני מובארק.
ויצמן הוביל קו של "נשיאות אקטיבית". הוא הביע את עמדתו בנושאים פוליטיים, ומתח ביקורת על פעילות ראשי הממשלה (הן מהשמאל - רבין ופרס, והן מהימין, נתניהו). על-כך זכה לתמיכה מצד הציבור. ויצמן ביקר את הסכם אוסלו - במתכונת שנתקבלה, וטען שממשלת רבין מאבדת "חצי עם". בעקבות הפיגועים הקשים (דיזנגוף, צומת בית-ליד ואחרים), קרא לממשלות בראשות יצחק רבין ושמעון פרס להשהות את המשא-ומתן עם הפלסטינים ובמקביל לבחון הליכה מהירה להסכמי קבע.
מעת בחירתו של בנימין נתניהו לראשות הממשלה (1996), ונוכח חששו מפני בלימה בתהליך השלום, הגביר ויצמן את פעילותו לקידום תהליך השלום. הוא שמר על קשר עם ראשי מדינות ערב, גם כאשר אלה ניתקו מגע עם נתניהו. ב-1996 נענה לבקשתו של ראש הרשות הפלשתינית, יאסר ערפאת, לקיים פגישה, ובכך כפה למעשה על נתניהו להקדים ולהיפגש עם ערפאת. בפגישותיו עם נשיא מצרים חוסני מובארק - שהביע מורת רוח ממהלכי נתניהו - הצליח ויצמן לתרום לחידוש מהלכי השלום באזור. ויצמן הזהיר מפני נקיטת צעדים המפרים את הסטטוס-קוו בין היהודים לערבים, וזאת בהתייחסו לעניינים: ההחלטה לפתוח את מינהרת הכותל, ההחלטה לבנות את פרויקט הר חומה, ההחלטה לבנות את פרויקט ראס אל-עמוד, וכן ההחלטה להתנקש בחייו של חאלד משעל על אדמת ירדן.
הפרישה בעקבות חשיפת פרשת ויצמן-סרוסי-אונגר ויצמן נאלץ להודיע במאי 2000 על התפטרותו מתפקיד נשיא המדינה, בעקבות פרשת ויצמן-סרוסי-אונגר שעיקריה נחשפו ב-30.12.1999 על-ידי כותב שורות אלה ובתחקיר מקיף ביום 4.1.2000.
עיקרי הפרשה: ויצמן קיבל מסרוסי 453 אלף דולר בשנים 1997-1988, באמצעות חשבון נאמנות מיוחד שנוהל עבורו על-ידי עו"ד חנינא ברנדס. הכספים הועברו בחשאי. הם שימשו למימון הוצאות אישיות שלו ושל רעייתו ובתו. כמו כן קיבל עבור תנועת יחד מיליוני דולרים, שחלקם נעלמו. כספים נוספים קיבל מאיש העסקים רמי אונגר. ויצמן לא דיווח על קבלת הכספים לגורמים כלפיהם חלה חובת דיווח, והסתיר את עצם קבלתם ממבקר המדינה, ממליאת הכנסת ומשלטונות מס הכנסה.
בעקבות החשיפה פתחו המשטרה ומס הכנסה - בהוראת היועץ המשפטי לממשלה - בחקירה פלילית כנגד נשיא המדינה עזר ויצמן. זו החקירה הראשונה בתולדות מדינת ישראל שבה נחקר נשיא מכהן. ויצמן נחקר באזהרה, כחשוד. נחקרו באזהרה גם רעייתו ראומה ובתו מיכל, מנכ"ל בית הנשיא אריה שומר, איל ההון אדוארד סרוסי ואיש העסקים רמי אונגר.
ויצמן סירב להתפטר והודיע כי בכוונתו להחזיק בתפקיד עד מועד תום הקדנציה הנוספת (2003). למרות הפניות הרבות אליו, הן מצד דורשי טובתו והן מצד מבקריו הפוליטיים, הוא לא פרש בתחילת הפרשה ובכך כפה והביא למעשה על עצמו חקירה פלילית והכתמתו בממצאיה הפליליים.
על החלטתו להתפטר הודיע ויצמן זמן קצר לאחר שפרסם היועץ המשפטי לממשלה אליקים רובינשטיין דוח מיוחד על הפרשה וממצאיה, ואת החלטתו, לפיה אכן עולה לכאורה מחומר החקירה כי ויצמן אכן ביצע עבירות לכאורה (עליהן חלה התיישנות) ומעשים חמורים נוספים - המטילים צל כבד על המשך כהונתו כנשיא המדינה. ויצמן ניסה להימנע מפרישה, אולם נאלץ לסיים את תפקידו בעקבות הלחץ הציבורי שהלך וגבר. חודשיים מאוחר יותר סיים את תפקידו בפועל.
חיבר שלושה ספרים 1) לך שמים לך ארץ, בהוצאת ספריית מעריב (1974);
2) הקרב על השלום, בהוצאת ידיעות אחרונות (1981).
3) רות סוף, בעיקר על תפקידו ומסעותיו כנשיא המדינה.
