מידע אישי כללינולד וגדל בעיר באר שבע. בוגר תיכון מקיף ג' בבאר שבע.
בעל תואר ראשון בהיסטוריה כללית מאוניברסיטת תל אביב, בעל תואר שני ושלישי בהיסטוריה מאוניברסיטת טורונטו.
לאחר שהשלים לימודי תואר ראשון בהיסטוריה כללית באוניברסיטת תל אביב, המשיך ללימודי תואר שני ושלישי בהיסטוריה באוניברסיטת טורונטו. התמחה בהיסטוריה של ימי הביניים ובעבודת הדוקטור שהגיש עסק ב-"קדושים חיים ומוניטין של קדושה בימי הביניים".
ב-1994 מונה למרצה בכיר בחוג להיסטוריה כללית באוניברסיטת תל אביב. בשנים 2004-2000 שימש בתפקיד ראש החוג ללימודים כלליים ובינתחומיים באוניברסיטת תל אביב. ב-2001 מונה במקביל לשמש כראש בית ההוצאה לאור של אוניברסיטת תל אביב.
ב-2004 קודם לדרגת פרופסור חבר בחוג להיסטוריה כללית באוניברסיטת תל אביב וב-2008 מונה לפרופסור מן המניין. ב-2015 מונה לשמש כראש בית הספר להיסטוריה על שם צבי יעבץ באוניברסיטת תל אביב.
במחקריו עוסק קליינברג בתופעות דתיות, בעיקר בנצרות ובעיקר בתקופת ימי הביניים. מלבד המאמרים האקדמיים שפרסם בנושאים אלו, פרסם גם כמה ספרי עיון לקהל הרחב העוסקים בתחום.
לצד פעילותו האקדמית עוסק בכתיבה פובליציסטית כבעל טור שבועי בעיתון "ידיעות אחרונות" וכן כבלוגר. כמו כן משמש כעורך מגזין אינטרנט בשם "קומפרס" העוסק בסוגיות תרבות ואקטואליה.
