שרייבר נולד ב-1926 בפולין לאביו יצחק שרייבר ולאמו חיה (לבית שפירן). גדל והתחנך בעיר רוזוודוב בפולין. בילדותו למד בחדר ובהמשך למד בבית ספר פולני כללי. לאביו הייתה בעיר חנות לכלי עבודה וחקלאות. במלחמת העולם השנייה הוגלתה המשפחה למחנה עבודה בסיביר. לאחר המלחמה, בשנת 1947 שבה לעיר מגוריה רוזוודוב בפולין. רבים מבני משפחתו נספו בשואה. בשנים 1949-1947 למד שרייבר ציור באקדמיה לאמנויות יפות וקולנוע בבית הספר לקולנוע של לודז'. שרייבר עלה לארץ ב-1950 באוניה "גלילה" דרך נמל חיפה עם בני משפחתו. תחילה התגוררו במחנה עולים בחיפה ומשם עברו למעברת "מחנה ישראל" שליד לוד. תקופה של מספר חודשים עבד בחברת "מקורות" בהרכבת משאבות לוחות מים ולאחר מכן התגייס לצה"ל ואחרי הטירונות שובץ ביחידת ההסרטה של הגדנ"ע כצלם ונמנה עם מייסדיה. מפקד היחידה היה זאב רב-נוף במאי ולימים מבקר הקולנוע של עיתון דבר. עם אנשי היחידה נמנו במאי הסרטים המיתולוגי נתן גרוס, ניסים "ניצו" ליאון, ועוד. היחידה הפיקה, צילמה וערכה עבוד פיקוד הגדנ"ע בעיקר סרטים חינוכיים, סרטי הדרכה וכיוצא באלה.

ב-1954 הצטרף שרייבר ל"אולפני גבע" שהפיקו צילומו וערכו את "יומן גבע" יומן חדשות שהוקרן בבתי הקולנוע בארץ לרוב לפני תחילת הקרנת הסרט. חיש מהר הפך שרייבר שנחשב לצלם מיומן ומקצועי לצלם הראשי של אולפני גבע וצילם עשרות רבות של אירועים. ב-1956 שימש שרייבר כצלם של סרט עלילתי באורך מלא בשם "מעשה במונית" אותו הפיקו אולפני גבע. היה זה הסרט העלילתי הראשון באורך מלא שהופק ונערך באולפני גבע. במאי הסרט היה לארי פריש ובין משתתפיו השחקנים שייקה אופיר, מרים ברנשטיין, רפאל קלצ'קין, נתן כוגן ועוד. ב-1959 הפיק "אולפני גבע" את הסרט "עמוד האש" בביומו של לארי פריש. גם הפעם בסרט זה הופקדה מלאכת הצילום בידיו האמונות של חיים שרייבר. הסרט צולם בקיבוץ רביבים הוא מספר על מלחמת העצמאות באזור הנגב. בין השחקנים המשתתפים בו: נחמה הנדל, לורנס מונטיין, אור זוהר, מיכאל שילה ועוד. ב-1962 היה שרייבר בין צלמי הסרט "המרתף" בביומו של נתן גרוס ובכיכובו של שמעון ישראלי. הסרט הופק לאחר משפט אייכמן ונוגע בנושא השואה. ב-1965 היה שרייבר צלם הסרט "הבו בנות לאילת", קומדיה אותה ביימו במשותף נתן אקסלרוד וליאו פילר בהשתתפות השחקנים שלמה בר שביט, אורי לוי, רפאל קלצ'קין, אלישבע מיכאלי.

בנוסף צילם שרייבר בשנות ה-50 וה-60 סרטים תיעודיים קצרים ובניהם: "שורשים במולדת", אותו ביים זאב רב-נוף ערד(1963), ברית דמים (1956), אותו ביים נתן גרוס, ומחנה בערבה (1953). צד לא ידוע בקריירה הקולנועית של חיים שריבר. הוא שהיה איש אנימציה ושימש כמעצב גראפי ואיש אנימציה בשורה ארוכה של סרטים. בשנות ה-60 עבר חיים שרייבר לעבוד במשטרת ישראל ועסק שם כצלם בשורה של תחומים, ובין השאר במחלקה לזיהוי פלילי, בצילומי שיחזור של זירות פשע ועוד.

במחצית שנות ה-60 עבר לעבוד בטלוויזיה הלימודית ועסק בצילום סרטי חוץ של הטלוויזיה הלימודית וכן כמפיק בטלוויזיה הלימודית. בין השאר הפיק את סרטי "דובי דוברמן" - הדוברמן החברמן. ב-1985 לאחר שנות עבודה רבות בטלוויזיה הלימודית פרש לגמלאות.

באוגוסט שנת 2011, נערך לכבודו של חיים שרייבר ב"סינמטק" בתל אביב אירוע הוקרה והצדעה במלאת לו 85. את האירוע, בשם "חמוש במסרטה", יזם וארגן וחוקר ומתעד הסרט העברי יעקב גרוס ז"ל. בתו של יעקב גרוס שנפטר ב-2017, היאלי גרוס, סופרת, צלמת, ממשיכת דרכו של אביה בתיעוד ההיסטוריה ובהפקת סרטי תעודה, הספידה בדף הפייסבוק שלה את חיים שרייבר לאחר היודע דבר מותו. בין השאר כתבה: ..."חיים שרייבר זכה לתעד את ראשית ההתיישבות במדינה הצעירה מיישובי הנגב ועד הצפון, את בואם של העולים החדשים ואפילו את ייבוש החולה. בנוסף לכך צילם את הסרטים הראשונים של גבע, ובהם: "מעשה במונית" ו"עמוד האש". בצילומיו ניכרה טביעת אצבע ייחודית, מבט אוהב של חלוץ, שמתעד חלוצים בארץ צעירה ומלאת תקווה ואהבה. בדיוק לפני שנה זכיתי להקרין במושב פטיש את הסרט של סבי נתן גרוס: "ברית דמים" שצולם בפטיש ב-1956. לאירוע הגיעו צלם הסרט חיים שרייבר ומשפחתו מרמת גן, וכן עשרות רבות מתושבי פטיש. היה זה אחד הערבים המרגשים בחיי". חיים שרייבר הותיר אחריו את רעייתו מינה, שני בנים ונכדים.