רמי (יהורם) יבזורי נולד ב-1930 בבית החולים העמק בעפולה, בנם של ז'ניה ויהודה יבזורי. אביו יהודה "לובקה" יבזורי, בן למשפחה מפוארת היה אחיה של חברת הכנסת יהודית שמחונית ודודו של האלוף אסף שמחוני, והיה מראשוני הפלמ"ח, אחראי במטה הפלמ"ח להעלאת יהודים מסוריה ומלבנון בתקופת המנדט.
אמו זניה הייתה בת משפחת לינקובסקי (לין) ממשמר העמק, אחותו של המשורר עמנואל לין. רמי גדל והתחנך בקיבוץ משמר העמק. הוא למד בקבוצת "אשל" במוסד החינוכי במשמר העמק. באתר ארכיון הפלמ"ח מסופר כי רמי היה חבר בחי"ש המקומי והשתתף במלחמת העצמאות בהגנה על הקיבוץ, בקרבות משמר העמק מול כוחות קאוקג'י.
לאחר מכן התגייס, למרות התנגדות הקיבוץ, עם ששה מחבריו בוגרי המוסד החינוכי, לפלוגת המשוריינים בגדוד התשיעי של הפלמ"ח בחטיבת הנגב. הוא השתתף בקרב אבו-ג'אבר, בכיבוש באר שבע, במבצע לוט לשחרור הדרך לסדום, בקרבות מבצע חורב - עוג'ה אל חפיר ושחרור מפרץ אילת.
לאחר שחרורו ב-1949 חזר למשמר העמק ומילא בקיבוץ זה תפקידים מרכזיים בענפי החקלאות, לרבות רכז משק. בשירות מילואים התקדם לדרגת רב-סרן והיה מפקד פלוגה בגדוד 9232 בחטיבה 343. רמי נשא לאשה את שר'קה צביאלי בת קיבוץ נגבה, היה אב לארבעה: יריב, נמרוד, הגר ומירי.
אחד מנכדיו הוא הכדורסלן דגן יבזורי ונכד נוסף, אחיו של דגן, הוא רימון יבזורי מאמן הכושר של נבחרת העתודה של ישראל בכדורסל, שזכתה לפני חודשים ספורים באליפות אירופה. רמי עצמו היה שחקן כדורסל בקבוצת הפועל משמר העמק המיתולוגית יחד עם שני אחיו אמיר יבזורי ויעל יבזורי. רמי שיחק בקבוצה הפועל העמק במשך מספר עונות בין השנים 1954-1959.
