אליעזר קפלינסקי נולד ב-1936 בעיר סלונים שבבלורוסיה לזהבה לבית יוסלביץ ולד"ר נח קפלינסקי .שבועות ספורים לפני שפרצה מלחמת רוסיה -גרמניה לקחה אותו אמו לביקור בקרים שבברית המועצות . הם ניסו לחזור לביתם בסלונים אבל אז פרצה מלחמת רוסיה -גרמניה .מינסק הופצצה על-ידי הגרמנים ואליעזר ואמו זהבה נתקעו במינסק. אביו ואחותו דולי נשארו בסלונים. האחות דולי נרצחה בשואה האב נח רופא במקצועו, הסתתר בעזרת ידידים במרתף של איכר פולני במשך שנה וחצי, וכשנכנס הצבא האדום לעיר יצא ממחבואו והחל מחפש אחר רעייתו ובנו. בינתיים אליעזר ואמו הצליחו להימלט ממינסק ותוך מסע תלאות כשהם תשושים רעבים ועייפים חצו את ברית המועצות דרך מוסקבה והגיעו להרי אורל. לבסוף אליעזר ואמו קיבלו אשרה שנשלחה אליהם מקרובים בארץ ישראל וב-1943 הגיעו לארץ עם "ילדי טהרן" .אליעזר שהיה בן 6 כשעלה לארץ נקלט במסגרת ילדי טהרן בקיבוץ חולדה. ארכיון קיבוץ חולדה פירסם בימים אלה בפייסבוק תמונה של אליעזר קפלינסקי כילד בקיבוץ בחברת ילדים אחרים . בסוף אוגוסט 1994 נודע לאב נח כי רעייתו ובנו נמצאים בארץ ישראל ובאוקטובר 1945 הוא עלה לארץ והמשפחה התאחדה. והתגוררה בעיר חולון לימים יכהן האב נח קפלינסקי גינקולוג במקצועו בתפקיד יו"ר ההסתדרות הרפואית בישראל בשנים 1965-1971. ב1947 לאחר שעלו לארץ והמשפחה התאחדה, נולדה בתל אביב אחותו הצעירה של אליעזר קפלינסקי יוכבד "וודה" קפלינסקי לימים פסנתרנית פרופ' למוזיקה בבית ספר ג'וליארד בניו-יורק.

בינואר 1959 נשא אליעזר קפינסקי לאשה את נעמי ורטהימר, בתו של פרופ' ארנסט חיים ורטהימר, פרופסור לביוכימיה וחתן פרס ישראל. אליעזר הכיר את נעמי כשהשניים למדו רפואה באותה כיתה בבית ספר לרפואה באוניברסיטה העברית בירושלים יחד בנו משפחה וקריירה. לזוג נולדו שישה ילדים. המשפחה ניהלה בית מסורתי. לאחר שסיים אליעזר קפלינסקי לימודי רפואה באוניברסיטה העברית בירושלים עבד תקופת מה בבית חולים הדסה בירושלים ובשנים 1962-1964 שירת כרופא בגדוד צנחנים. במחצית שנות השישים נסע אליעזר קפלינסקי עם משפחתו לארצות לצורך התמחות והשתלמות. לאחר שלוש שנות שהות בארצות הברית שב ב1968 ארצה והחל לעבוד במחלקת הקרדיולוגית של בית חולים תל השומר אותה ניהל אז פרופ' הנרי נוייפלד . בהמשך שימש מנהל המחלקה הקרדיולוגית בבית החולים מאיר בכפר סבא. ממקימי "אגודת לב אל לב" בשנות ה70 היה ממקימי אגודת "לב אל לב" ושימש כיו"ר האגודה ששמה לה למטרה לגייס כספים ומשאבים באמצעות תרומות לרכישת אמצעי עזר לשיקום חולי לב ולפעול בהסברה ובחנוך במסגרת קהילתית להקניית הרגלי חיים ותזונה ופעילות גופנית מתאימה. אליעזר קפלינסקי בהופעות בתקשורת, בהרצאות שנשא ובמאמרים שפרסם הרבה להטיף למניעת מחלות לב באמצעות שינוי הרגלי חיים, תזונה נכונה הפסקת עישון ופעילות גופנית, עוד הרבה קודם לפני שהן מתפרצות שכן לאחר שמחלות הלב מתפרצות ידם של הרופאים לעיתים קרובות קצרה מלהושיע בריפוי מלא של מחלות הלב.

בשנת 1987 נתמנה למנהל מכון הלב בבית החולים שיבא. במאי 1990 כשהיה מנהל מכון הלב בתל השומר (שיבא) כתב חוות דעת משפטית רשמית שהוגשה למשרד הביטחון ובה הוא קובע כי האוכל הצה"לי מסוכן לבריאות וטען כי צה"ל מזין את חייליו לאורך שנים במזון עתיר שומן וכולסטרול נקניקיות ספוגות שומן ועתיר ביצים ותורם לדבריו להתפתחות מחלות לב כבר בגיל צעיר. מורה בחסד עליון אהוב ונערץ. אליעזר קפלינסקי שימש דקאן הפקולטה לרפואה באוניברסיטת תל אביב בשנים 1993- 1998 פקולטה והיה פרופ' מן המניין באוניברסיטת תל אביב .במשך שנים רבות לימד למודי פיזיולוגיה של הלב בבית הספר לרפואה באוניברסיטת תל אביב וגם בבית ספר לרפואה באוניברסיטת בן-גוריון בנגב. הוא המשיך ללמד בבית ספר לרפואה בתל אביב עד הגיעו לגיל 84 כחמש שנים לפני מותו. תלמידיו מספרים על מורה- מרצה בחסד עליון אהוב ונערץ.

המוזיקה הייתה חלק בלתי ניפרד מחייו של אליעזר קפלינסקי .הוא החל לנגן בכינור בגיל 10 . בגיל 14 למד נגינה בכינור אצל המורה לכנור הנודעת אילונה פהר שרבים מתלמידיה היו לכנרים יידועי שם בארץ ובעולם. גם שבגר המשיך כתחביב לנגן להנאתו בכינור. הוא הופיע כסולן בקונצרטים שנועדו להתרמה למכון הלב ולארגון לב אל לב. ב-1992 הופיע בהיכל התרבות כסולן בנגינה בכינור עם התזמורת הקאמרית הישראלית בקונצרט שהכנסותיו קודש למכון הלב ולבית חולים שיבא יחד עם הכנר והמנצח שלמה מינץ. כמו-כן ניגן ברביעיית כלי קשת. קפלינסקי נהג לכנס פעם בשבוע בביתו קבוצת נגנים מקצוענים וחובבים כדי לנגן יחדיו. עם חברי קבוצה זו נמנו ד"ר דוד סלע בצ'ילו, הויולן הסופר נתן שחם, הכנרת אילנה בר- שלום, העיתונאי ואיש הטלוויזיה דוד ויצטום אף הוא בצ'ילו ואחרים. פרופ' אליעזר קפלינסקי הובא למנוחות בבית העלמין שמגר בירושלים. כמה מצאצאיו ממשיכים בעולם הרפואה. בנו, עו"ד יובל קפלינסקי, כיהן כמנהל המחלקה הבינלאומית בפרקליטות המדינה.