שפירא נולד בכפר מל"ל וגדל בבית בוהמייני בתל אביב, וגדל על ברכיהם של אומנים שהיו מבאי בית הוריו, שוחרי תרבות שכבר בגיל 5 לקחו את בנם לצפות בהצגות בתיאטרון הבימה. לימים סיפר, כי חלומו מילדות היה להיות שחקן תיאטרון. אביו נתן שפירא היה מורה נודע בבית חינוך א"ד גורדון בתל אביב.

ב-1960 התגייס ללהקת פיקוד הצפון, יחד עם כוכבי במה בעלי שם ובהם נירה רבינוביץ' ואתי גרוטס, והשתתף בשתי תוכניותיה: "הנשק הסודי" (1961) ו"טרמפ לצפון" (1962). לאחר שחרורו מצה"ל למד משפטים והוסמך כעורך־דין. תקופה קצרה ביותר עסק במקצוע זה בשירות המבחן.

בסוף שנות ה־60 הצטרף לגלי צה"ל, ששכנה אז במבנה שנטש הצבא הבריטי. יצחק לבני, מפקד גלי צה”ל דאז, הזמין אותו להצטרף לתחנה ובפגישה בקפה רובל בת"א אמר לו: "אני עוקב אחריך. ראיתי אותך בלהקות צבאיות, ראיתי אותך על במה וקראתי את הכתבות שלך. אני לא רוצה אנשים שמדברים בקולות מהבטן, אלא שיביאו קסם, אני רוצה אנשים שידעו להמציא את גלי צה”ל מחדש ויעשו את המהפך בתחנה". שפירא שימש גם כראש חטיבת התרבות והמוזיקה בתחנה ויצר רצועות ומשדרים כמו "ציפורי לילה", "ערב שירי משוררים", "שיר אהבה חילי לסשה ארגוב" ו"בילוי היום". בין התוכניות שערך והנחה: "הייה אתה השופט", "קו פתוח", "שירי חיילים", "ככה סתם". בשנות ה-70 מונה לתפקיד מנהל מחלקת התרבות והבידור בגלי צה"ל וב-1975 מונה "יועץ למפקד גלי צה"ל לתוכניות שידור". במסגרת תפקידו כראש מחלקת (חטיבת) התרבות בגלי צה"ל, יזם, הפיק והיה שותף לתוכניות רבות ופיתח את השידורים הישירים של מופעי מוזיקה, בידור ותיאטרון. על פועלו בתחום התרבות זכה בפרס אמ"י למפעל חיים, בפרס סוקולוב למפעל חיים ובפרס מפעל חיים מטעם האקדמיה הישראלית לתיאטרון.

מולי שפירא היה נשוי לכרמלה ואביו של השחקן דן שפירא. הוא התגורר בתל אביב. אחיו הוא המשפטן הפרופסור עמוס שפירא. גלי צה"ל תשדר בסוף-השבוע תוכניות לזכרו. חבריו ועמיתיו ספדו לו: יורם רותם, עורך המוזיקה הראשי בגלי צה״ל וחברו הקרוב: "מולי היה איש תרבות, בידור ועיתונאי שחי והכיר את התחומים האלה מקרוב. הוא ידע להגיע לקהל גדול מבלי לוותר על עקרונותיו המקצועיים ותרם רבות לגלי צה"ל בתוכניות, במופעים ובדפוסי השידור שעיצב לאורך השנים. מולי חינך ולימד דורות של עיתונאים בגלי צה"ל, (וביניהם גם אותי) את רזי המקצוע. למדתי ממנו המון". טלי ליפקין-שחק, ראש מחלקת תוכניות: ״מולי שפירא היה מאבני היסוד במחלקת תוכניות, והחותם שהטביע נשמר, ועודנו מדריך את המחלקה בייעודה לעיצוב תרבות ישראלית ולהפצתה לחיילים ולכלל מאזיני גלי צה"ל״. ענבל גזית, עורכת תחום התרבות בגלי צה"ל: "מולי לימד אותי שאין דבר כזה תרבות גבוהה או נמוכה. המדד היחיד הוא שיהיה מעניין. ועוד יותר, שיהיה סיפור טוב. הוא אהב את המקצוע באמת ובתמים, והיה מורה הדרך הראשון שלי בתחום התקשורת והתרבות. שלי ושל כל המאזינים והמאזינות שלא יכלו שלא להידבק בהתלהבות האמיתית שלו״. אפי בן אברהם: ״מולי שפירא היה עבורי יעבור רבים ענק של תרבות. עיתונאי ואיש רדיו שידע לרתק למכשיר הרדיו את המוכר בשוק ואת המרצה באוניברסיטה. שידע לצטט בעל פה את צ'כוב ואת זוהר ארגוב. גלי צה"ל נפרדת היום מבכיר שדריה, ואני - מאיש שלימד אותי את מלאכת הרדיו״. גיא פינס: ״מולי שפירא היה עבורי מורה דרך לתקשורת ובידור. במחויבותו חסרת הפשרות לגל"ץ, הקדים את זמנו והצליח במשך שנים לחבר את הקצוות הכי רחוקים ולהגיע לכל גווני הקשת של התרבות הישראלית״. נחמן שי, מפקד גלי צה"ל לשעבר: ״מולי שפירא היה לוחם נחוש ועקשן למען התרבות בישראל. הוא הטביע חותם עמוק על התרבות הישראלית ומצא דרכים אין סוף כדי לקרב אותה לציבור הרחב ולחבב אותה. באמצעות תוכניותיו השונות בגלי צה״ל, החל בתוכניתו השבועית, דרך הפקות מיוחדות ושידורים חיים מולי השכיל לפלס דרכים חדשות בעבודת הרדיו ועשה זאת בקסם, באהבה גדולה ובמקצועיות שאין דומה לו. התרבות הישראלית איבדה אחד מאוהביה ואנחנו איבדנו חבר ואיש נפלא״. יואב גינאי, ששידר ברשת ב' תוכנית תרבות בשעות מקבילות: ״מולי, עמית וחבר יקר היה פורץ דרך בתחום סיקור התרבות בתקשורת הישראלית. הוא ידע להטמיע בחכמה את אישיותו המיוחדת ואהבתו הגדולה לאמנות, תיאטרון קולנוע ומוזיקה אל תוך הראיונות שערך ובכך העשיר את התוכן המשודר״. אבי בניהו, מפקד גלי צה"ל לשעבר: "מולי שפירא שהלך הלילה לעולמו היה קצין התרבות של גלי צה״ל ושל ישראל לאורך עשרות שנים. הוא היה ללבנה מרכזית בבניית המותג של גלי צה״ל והפך את התחנה לביתם של אמני ישראל בתיאטרון, בקולנוע, בשירה ובתרבות. תוכניתו בילוי נעים הייתה במשך שנים למדורת השבט של שוחרי התרבות והבידור בצה״ל ובחברה הישראלית. למדתי ממנו רבות, אהבתיו והערכתי אותו ואת מפעל חייו". אתי אנטה: ״מולי היה איש תרבות אמיתי. את כל תחילת הדרך שלי בעולם התרבות הישראלי אני חייבת לו. הוא היה הראשון שנתן לי להפיק את המופעים הגדולים של התחנה בראשית שנות ה-80. כשהחלפתי אותו כמנהלת מחלקת התרבות בגלי צה"ל, הרגשתי שאני ממשיכה את דרכו, בעיקר במחשבה על המקום שהתחנה צריכה לתת לתוכניות תרבות ובידור״. יגאל רביד, שדרן ועיתונאי: "אהבתי מאוד את מולי, ברמה האישית היה כיף להצטרף מדי פעם לפרלמנט שלו בסטקיית כתר המזרח באבן-גבירול. למולי תרומה חשובה לתרבות ולזמר בארץ. הקדשנו לו שעה בתוכנית 'כך היה' בערוץ הראשון. הפרויקטים המוסיקלים שיזם והוביל צולמו ושודרו אצלנו ועליהם הייתה גאוותו. נתגעגע לידענות והדעתנות״. הלוויתו של מולי שפירא תתקיים בשעה 15:00, בבית העלמין קריית שאול.