הוא נולד ב-13 ביולי 1934 בדרום תל אביב להורים יוצאי פולין שעלו לארץ בשנות ה-30 והתיישבו בתל אביב. לאביו היה בית מלאכה-גלנטריה לתפירה וחייטות. האם, עקרת בית עזרה בבית המלאכה. יאיר הוא בן הזקונים במשפחה בת שלושה ילדים. אחיו הבכור יהודה (כיום בן 93) הגדול ממנו בכ-10 שנים היה לימים מורה לאומנויות בבית ספר. אחותו הגדולה רותי שנפטרה מזה כבר היא אמו של המוזיקאי עדי רנרט. המשפחה התגוררה תחילה בדרום תל אביב ובהמשך עברה להתגורר בסביבת "הבימה". כאן עברו על יאיר שנות ילדותו ונעוריו. בראיון לליאת רגב בתוכנית רדיו אודותיו ששודרה ב"כאן רשת ב'" סיפר קלינגר כי כבר בגיל 10 לערך החל ללמוד לנגן בפסנתר שהיה בבית עליו ניגנו גם אחיו יהודה ואחותו רותי. כשהיה בן 11 בלבד החל להלחין מנגינות. בין הלחנים שהלחין באותה תקופה היו שירים להצגה "הזמיר של מלך סין" שהועלתה בבית הספר בו לימד אחיו יהודה שהיה מורה לאומנויות. יאיר קלינגר למד בבית הספר הדתי היסודי ביל"ו ברחוב רוטשילד בתל אביב ששכן בסמוך למקום מגוריו ובהמשך למד בבית ספר התיכון עירוני א' בתל אביב, שם היה פעיל בחוג הדרמטי ובמסגרת החוג הופיע לראשונה בחייו על במת תיאטרון. תפקידו הראשון היה אליק, במחזה "הוא הלך בשדות". בשנת 1956 בהיותו בכתה ו' הצטרף ל"צופים" והיה חניך ומדריך פעיל מאוד בתנועת נוער זו לימים סיפר כי בצופים עברה עליו כל תקופת ההתבגרות והיא השפיעה על עיצוב אישיותו והשקפותיו. בקיץ 1961 נבחר להשתתף במשלחת צופי ישראל שיצאה למחנות קיץ בארצות הברית. ב-1962 התגייס לנח"ל במסגרת גרעין הצופים "רגב". יאיר היה, והדבר לא מפתיע, ה"תרבותניק" של הגרעין, כתב את ההצגות והלחין את המוזיקה לאירועי התרבות והחברה של הגרעין. חברי הגרעין התגוררו במשך כשנה כחלק מהכשרתם "החקלאית" בקבוצת כנרת. יאיר וחבריו לגרעין הופיעו לא פעם בהצגות ובקטעי זמר באירועי וחגי הקיבוץ. בראיון עם ליאת רגב ב"כאן רשת ב'" סיפר יאיר כי פגש לא פעם באירועים שונים בחברי קיבוץ כנרת ותושבי האזור ואלה סיפרו לו כי הם זוכרים עד היום את הופעותיהם של חברי הגרעין בקיבוץ.

הפריצה הגדולה של קלינגר כמלחין הגיעה בשנת 1966 בהיותו בגיל 22 בעת שהיה שחקן תיאטרון צעיר בקאמרי. באותה עת שיחק את עזגד, גיבור מלחמה צעיר בהצגת "אסתר המלכה". הוא הבחין במודעה בעיתון הקוראת למעוניינים לשלוח שירים לפסטיבל הזמר והפזמון. יאיר שלח שיר שהוא כתב את מילותיו וגם את לחנו בשם “בואי ילדה”. השיר התקבל בוועדה ובוצע לסירוגין כפי שהיה מקובל אז בפסטיבלי הזמר על-ידי שלישיית גשר הירקון ועדנה גורן. והשאר היסטוריה. לימים יספר כי את השיר כתב על חברתו אז דורית אהבת נעוריו, לימים רעייתו ואם ילדיו.

יאיר שילב באותם ימים של שנות ה-60 עיסוק במוזיקה לצד תיאטרון. בשנת 1966 למד בחוג לאומנות התיאטרון והפילוסופיה באוניברסיטת תל אביב. הוא הופיע בתיאטרון הקאמרי בתפקידים קטנים בשורה של הצגות ובהם "אסתר המלכה". מתיאטרון הקאמרי עבר לתיאטרון זירה המחודש של מיכאל אלמז. כאן בתיאטרון הזירה שנעשו ניסיונות לחדשו (ללא הצלחה, א.א) השתתף במחזה "סוף המשחק" לסמואל בקט בביומו של מיכאל אלמז ובקומדיה "אוטו אוטו". ב-1969 שיחק יאיר בתאטרון אהל במחזה של עמוס קינן "משהו לא נורמלי" בביומה של מירי מגנוס. ב-1970 שיחק יאיר בהצגה "הקוקו והסרפן" של תיאטרון יובל בביומו של יואל זילברג עם ציפי שביט וגבי עמרני. ההצגה סוקרת מאה שנה של ארץ ישראל עד קום המדינה בשירים תקופתיים ומערכונים. בשנים 1970-1969 שיחק וזימר יאיר קלינגר במופע מוזיקלי בשם “ירושלים שלי” שהועלה בתיאטרון החאן בירושלים, לצד גאולה נוני, מוטי פליישר, דני גרנות ועוד. את ההצגה כתב וערך דן אלמגור. באותן שנים - סוף שנות ה-60 - הלחין יאיר את השירים "עפרה" שכתב המשורר אורי אסף לבתו עפרה ואת השיר "אבשלום" למילים של רות חשמן. שני שירים אלה בוצעו על-ידי מוטי פליישר כוכב עולה אז בזמר הישראלי, בוגר להקת הנח"ל והם זכו להצלחה אדירה. בנוסף הלחין קלינגר באותן תקופה את השיר "לאהוב את החיים" למילותיו של יובב כץ אותו ביצע דני גרנות. ב-1970 הופיע יאיר יחד עם צילה דגן ודני מסנג במופע “ייאוש יושב על ספסל”, ערב משירי ז’אק פרוור בתרגום ועיבוד עדה בן נחום, מוזיקה דובי זלצר. בעקבות הופעתם המשותפת במופע זה השלושה - יאיר קלינגר, צילה דגן דני מסינג הקימו (1970) שלישיית זמר בשם "שלישיית הצירוף המקרי". את רוב שירי השלישייה הלחין יאיר קלינגר. השלישיה החלה הופעותיה במרכז הארץ ובמועדון "חצות וחצי" באילת והקליטה מספר שירים, הידוע שבהם “בלדה ללוח שנה” למילותיו של אפרים רימון. חייה של השלישיה היו קצרים וב-1971 התפרקה ונעלמה מדפי ההיסטוריה. בתחילת שנות ה-70 נשא יאיר לאשה את חברתו דורית פולק אותה הכיר לראשונה כשהיה מדריך שלה בתנועת הצופים.

ב-1971 נסע קלינגר לצרפת עם להקת כרמון לחודש הופעות בתיאטרון אולימפיה בפריז וגם כמעין נסיעת "ירח דבש" עם רעייתו הטריה דורית. שהייתו בעיר האורות שנועדה להימשך כחודש נמשכה כעשר שנים. כאן בצרפת נולדו וגדלו שתי בנותיו אודליה ודנה. במהלך שנות שהותו בצרפת למד קלינגר הלחנת מוזיקה לסרטים וכתב לחנים לזמרים מקומיים ובהם הזמרת ריקה זראי. בביתה של ריקה זראי בפריז הכיר יאיר את סילבן מרגי, זמר ישראלי, שניסה מזלו בעיר האורות. ההיכרות ביניהם הולידה את הצמד "סילבן ויאיר". הם עבדו יחד במשך כ-11 שנים במסגרות שונות והקליטו מספר שירים ובהם "אצלך כמו תמיד". סילבן ויאיר הופיעו בתוכניתה של ריקה זראי, שהייתה אז כוכבת גדולה בצרפת, ובהופעות מטעם משרד התיירות הישראלי בפריז. בין השאר ליווה הצמד את הזמר ז'ו דסאן. במהלך שהותו בצרפת הלחין קלינגר לזמרים בעלי שם ובהם לסילבי ורטאן, לדמיס רוסוס, לקומפניון דה לה שנסון למייק ברנט ועוד. לאורך תקופת שהותו הלא קצרה בצרפת שמר קלינגר על קשר עם הארץ וכמעט מדי שנה שלח שירים לפסטיבלי זמר ולאחר מכן לפסטיבלי קדם אירוויזיון. אחד השירים ששלח מצרפת לישראל היה "חלומות" שהיה ללהיט גדול בביצוע רוחמה רז (למילים של רחל שפירא).

בשנת 1981, לאחר קצת למעלה מעשר שנים בצרפת חזר יאיר קלינגר לארץ עם משפחתו דורית ושתי הבנות. בעיצומה של מלחמת לבנון התפרסם השיר "הביתה", אותו הלחין יאיר למילותיו של אהוד מנור. השיר קרא למעשה אם כי במרומז משהו לנסיגת צה"ל מלבנון ולחזרת החיילים הלוחמים שם לארץ ועורר סערה ציבורית. השיר הפך בחודשים האחרונים בעקבות מלחמת חרבות ברזל לתפילה לשלומם של החטופים ושל החיילים הנלחמים בעזה. אחד מלהיטיו הגדולים של קלינגר באותן שנים היה השיר "קום והתהלך בארץ", למילותיו של יורם טהר-לב בביצוע להקת פיקוד צפון, עם הסולנים יהודה אליאס ויסמין גמליאל. שיר ידוע נוסף שכתב קלינגר והתפרסם באותה שנה הוא "דרישת שלום" ששרו ירדנה ארזי ולהקת הנח"ל באירוע ה"שירותרום" של גלי צה"ל ב-1985. ב-1988 יצא לאור השיר "נשבע" שמבצע חיים משה אותו הלחין קלינגר למילותיו של שמוליק קלוסקי. השיר נכלל בפסקול הסרט "אבא גנוב 2", והושמע בקטע החתונה בהפתעה שנערכה לגיבור הסרט צ'יקו בן דוד (יהודה ברקן). בהמשך החל השיר להיות מושמע רבות בחתונות ובטקסי השבעה צבאיים. בשנת 1988 הלחין קלינגר את השיר “עגילי דמאר” שהקדיש המשורר והפזמונאי דודו ברק לשושנה דמארי, כלת פרס ישראל. את השיר ביצעה ירדנה ארזי בטקס הענקת פרס ישראל לשושנה דמארי. בשנת 2001 זכה השיר “אין דבר” שהלחין למילותיה של שמרית אור במקום הראשון בקדם האירוויזיון, השיר ומבצעו טל סונדק יצגו את ישראל באותה שנה באירוויזיון.

החל משנות ה-90 ואילך התמקד קלינגר בניהול מוזיקלי של אירועי ופסטיבלי זמר וכן ניהול מוסיקלי וניצוח של להקות נוער ומקהלות של מבוגרים חובבי זמר. בין השאר הקים סדנאות מוזיקליות יצירתיות לנוער במרכז ביכורי העיתים בתל אביב. קלינגר ניהל את להקת צופי תל אביב. שימש שלוש פעמים כמנהל אמנותי של פסטיבל ערד, נמנה עם מקימי עמותת מיל"ה (המרכז הישראלי למקהלות וחבורות זמר), מקים מנהל ומנצח מקהלות חבורות זמר. רשימת שיריו ופעליו באמת רבה ותרומתו לזמר הישראלי רבה ובשנים האחרונות נערכת לו שורה של אירועי הוקרה.